痴迷“铺地砖”的数学家

来源：中国科协青少年科技中心

 宗传明

世纪难题

“毫无进展的6年”之后

数学家总喜欢给自己出难题。从上世纪30年代开始，富特文格勒、哈尧什和罗宾森等杰出数学家开始研究多重铺砌问题，并取得了一系列重要成果。他们发现通过自然叠加，单重铺砌可以产生任意重数的铺砌。

但是，数学家想知道的是，除去费德洛夫所发现的四边形和六边形外，还有哪些几何形状可以通过平移构成二重、三重或多重铺砌？

这引起了宗传明的兴趣。2006年，他在英国剑桥大学出版社出版了一本专著，专门介绍了上述三人的成果，并开始组织研究生每周一次定期学习研讨他们的相关工作，试图在分类问题上取得突破。

然而，6年过去了，他们在这个问题上毫无进展。

2012年，三位欧美学者发现了一个可以构成七重晶格铺砌的八边形。这一结果再次激起了宗传明团队的研究热情。“我们重新设计了研究方案。一方面，我的研究生利用计算机寻找更好的多重铺砌实例；另一方面，我利用多年来在堆积理论所积累的成果与思想方法，集中研究较低重数的晶格铺砌。”

2017年前后，宗传明和他的学生终于迎来了意想不到的收获。首先，他们证明，除去费德洛夫所发现的两种多边形外，任何其它形状的凸形砖都不可能构成二重、三重或四重的晶格铺砌；进而，他们发现了一个能构成五重晶格铺砌的十边形；而通过逐步实现预先设计的研究方案，宗传明独立证明，有且仅有五种凸形砖可以构成平面的五重晶格铺砌，它们是平行四边形、中心对称的六边形、两类特殊的八边形和一类非常特殊的十边形。

“我们将这些结果先后发表在预印本平台arXiv上。在接下来的几天里，我收到了多位欧美同行的祝贺。”宗传明坦言，国外同行的高度关注，既让他们感受到收获的喜悦，也感受到巨大的竞争压力。

他决定再努力一把，把这个故事讲完。

像做艺术品一样做数学研究

“多重晶格铺砌是多重平移铺砌中最重要的一类，也是最特殊的一类，但是一个完美的理论应该包括所有多重平移铺砌。”在认真分析了解决一般平移多重铺砌问题所面临的关键困难之后，宗传明意识到，要彻底解决这样一个历史悠久的基本问题，没有出奇制胜的新思想是不行的。

经过反复推敲，他设计了一套系统的研究方案，在每个铺砌顶点引入了一个组合计数公式。接下来，他组织课题组分块实施这一方案。

这期间，宗传明婉拒了所有的会议、评审、报告等活动，集中精力实现他的研究计划。

2018年，宗传明和他的博士研究生杨琪终于实现了他的证明方案。他们发现并证明，除去费德洛夫所发现的两种多边形外，任何形状的凸形砖都不可能构成二重、三重或四重的平移铺砌；五重平移铺砌一定是五重晶格铺砌，也只有平行四边形、中心对称的六边形、两类特殊的八边形和一类非常特殊的十边形能够实现。

而后，宗传明又完整刻画了能构成六重晶格铺砌的所有铺砖，它们是平行四边形、中心对称的六边形、一类特殊的八边形和两类非常特殊的十边形。

2020年5月，这一系列成果在《美国数学会通告》上刊登。这是近5年来该杂志发表的唯一一篇国内学者的“重点论文”。论文发表以来得到了柏林自由大学校长齐格勒、美国数学协会前副主席摩根等十多位欧美著名学者的祝贺和称赞。

前不久，中国科学院院士、中国数学会理事长田刚在其《数学内外》讲座中也专门提到了这项工作。

“数学研究有时就像是创作艺术品，我们总是希望能够完成一件永恒的作品，就像达·芬奇和米开朗基罗的杰作那样。我们这项成果远达不到屹立于世界数学之林的高度，但它是一项完整的基本成果，是宏伟的数学殿堂中一块小小的铺地砖。”宗传明说。

相关论文信息：

https://doi.org/10.1090/noti2075

来源：《中国科学报》（2020-05-21 第1版 要闻）