什么是沙堆模型：自组织临界性与最小作用量原理

来源：集智俱乐部

目录

一、关于沙堆模型

二、自组织临界性

三、属性/性质

关于沙堆模型

阿贝尔沙堆模型 Abelian sandpile model，也被称为 Bak-Tang-Wiesenfeld 模型，是第一个发现的动力系统展现自组织临界性的例子。它是由 Per Bak,Chao Tang 和 Kurt Wiesenfeld 在1987年的一篇论文中提出的。

这个模型是一种 元胞自动机模型 Cellular automaton。在最初的公式中，有限网格上的每个位置都有一个与沙堆的坡度相对应的关联值。当“沙粒”（或“碎片”）被随机放置在沙堆上时，被放置位置的坡度就会不断累加，直到坡度超过一个特定的阈值时，这个位置便发生崩塌，沙子就会转移到其邻近的位置，而增加后者的坡度。Bak, Tang和 Wiesenfeld考虑了在网格上持续随机放置沙粒的过程; 每次这样在某个位置放置沙粒有可能不会产生影响，也有可能会引起级联反应而影响一大片位置。

该模型已经在无限栅格、其他非方形栅格和任意图（包括有向多重图）上进行了研究。它与美元博弈游戏密切相关，这个游戏是Biggs提出的一种开除碎片 chip-firing 游戏的变体。

在矩形网格上的沙堆。黄色像素对应三颗沙粒，淡紫色代表两颗，绿色表示一颗，黑色表示没有。

自组织临界性

模型最初源于这样一个事实，即在晶格上的模拟中，不需要精细调整任何参数，系统被吸引到了它的临界状态，此时系统的关联长度和关联时间趋于无穷大。这与早期临界现象的例子形成了对比，例如固体和液体之间，或液体和气体之间的相变 phase transition，其中临界点只能通过精确调节参数（例如，温度）来达到。因此，在沙堆模型中，我们可以说临界性是自组织的。

一旦沙堆模型达到其临界状态，系统对扰动的响应和扰动细节之间的关联就没有了。一般来说，这意味着再往沙堆放一粒沙子可能不会导致任何事情发生，也可能导致整个沙堆大滑坡。该模型还显示了1/f噪声，这是自然界中许多复杂系统的共同特征。

沙堆模型只有在二维或者更高维度才会表现出临界现象。虽然沙堆模型可以放在一维上，但它不会演化到临界状态; 而是倾向于到达最差稳定态，此时每个格点上的沙粒数都马上要达到临界值。

对于二维情况，沙堆模型被假设认为可以对应到中心电荷为c = −2的辛费米子 symplectic fermion构成的共行场理论。

属性/性质

碎片构型的稳定化遵循一种“最小作用原理”的形式：每个顶点在稳定过程中不超过必要的崩塌量。

这可以如下形式化的描述。如果一个序列只崩塌了不稳定的顶点而达到了稳定构型，则称其为“合法的”，沙堆稳定化的标准方法是找到一个最大的合法崩塌序列，也就是说，让崩塌序列尽可能地长。这种序列具有明显的稳定性，沙堆的可交换性质是所有这些置换后的序列都是等价的，也就是说，对于任何顶点v，在所有合法的稳定序列中v的崩塌次数都是不变的。根据最小作用原理，最小稳定序列等价于合法的（且稳定的）崩塌序列的置换。特别地，由最小稳定序列产生的构型与由最大合法序列产生的构型是相同的。

更形式化地说，如果 u 是一个向量，  u(v)是碎片构型 z 在稳定过程中（通过不稳定顶点的崩塌）顶点v 崩塌的次数。

n是一个积分向量（不一定是非负的），z−nΔ′使得是稳定的，那么对于所有顶点 v，有u(v)≤n(v)。‍‍

缩放极限（标度极限）

动画显示了在不同的 N×N，N≥1 网格上的沙堆群一个实例的常返构型，随着N增加的情况。将构型标度变换到同样的物理尺寸。看起来，更多的网格会表现得更加精细，并逐步“收敛到一个连续的图像”。从数学上讲，这是因为基于弱收敛的概念（或其他一些广义的收敛概念），方格上的沙堆模型在缩放极限。事实上，Wesley-Pegden和Charles-Smart已经证明了常返沙堆构型存在缩放极限。在与Lionel Levine的进一步合作中，他们使用缩放极限来解释了方格上沙堆的分形结构。

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