数学教育的困境与出路

来源：中学生英才计划

本文是《国家科学评论》（National Science Review, NSR）Forum文章“Predicament and outlook of China’s math education”的中文版本。

数学是科学的根基，也是理性思考的基础。

如果一个社会拥有普遍较高的数学水平，其科学研究和民众素质也必然更富创造力、更具逻辑性。而面向青少年的数学教育正是养成民众数学思维的基础性工程。

长期以来，中国的教育体系与西方国家存在较大区别，我们曾培养出了许多数学奥赛冠军，却也被批评为缺乏创造性。

在这次举办于2020年春季的NSR论坛中，中学、大学、研究生阶段的数学教育者，以及活跃在各学科的数学工具使用者齐聚一堂，讨论中国数学教育的现状、困境与出路。

高中数学：中国的选修课与美国的先修课

田刚：

中学是数学教育的基础阶段，我们从这里开始讨论。

夏志宏：

据我所知，美国课程的自由度非常大，你可以选择不同难度的数学课，可以一个学期上好几门数学课，也可以一个学期完全不学数学。但是中国的高中课程似乎都是固定的？

朱华伟：

中国的课程在义务教育阶段（小学、初中）都是固定的，但高中阶段有一定弹性。按照2003年版的课标，高中课程分为必修、选择性必修和选修三类。

其中选修课有16门，包含差分方程、数论、密码、球面几何、对称与群等各种内容。但是实践证明，这种选修课制度是失败的。因为在几乎所有的学校，都找不到能够讲授所有这16个专题课程的老师。

从2020年秋季开始，将开始使用新的教材，这一版教材在原有的基础上做了大幅度的压缩，去掉了很多高中生难以掌握的选修内容。当然这样一来，高中课程的弹性也有所下降。

在课标规定的选修课程之外，一些学校还会开设自己的选修课。

深圳中学就开设了微积分、统计学、线性代数等大学先修课程，以及数学建模、数学竞赛等选修课。我知道在美国，高中开设大学先修课程（Advanced Placement，AP）的情况更加普遍。

李增沪：

在三类高中课程中，必修和选择性必修加在一起，大致相当于高考的命题范围，而选修课程，也包括AP课程，是基本不出现在高考命题中的。

汤超：

在美国，AP课程对学生申请高校是有帮助的，也可以认定为大学学分。但是在中国，选修课与高考无关，所以学校不会用心教，学生也不那么想学，家长更不愿意学生去学。

朱华伟：

没错，在深圳中学，选修AP课程的大部分学生都是打算出国读大学的，要参加高考的学生很少去学。

夏志宏：

AP课程是很有意义的，哈佛和普林斯顿等美国一流大学的很多大一新生就可以上非常高深的数学课，二年级就可以上研究生课程，这是中国学生做不到的。

杨金龙：

确实如此，我给中国的大一新生上课时发现，很多物理、化学的专业课中要用到微积分、线性代数等数学知识，但是学生们在高中阶段完全没有接触过这些内容，所以我们经常需要先停下来，花一两个星期的时间给他们补充数学知识，才能继续讲专业课。也就是说，中国的课程体系中，中学和大学之间的衔接还不够顺畅。

如果这个情况不改变，会对学生造成很大的影响。如果学生在大一的专业课程中就遇到了困难，会对他（她）的学习兴趣造成很大的打击，要想在后面赶上来也非常困难。

朱华伟：

其实在20世纪80年代的时候，我们曾经编写过高中的微积分教材，但是当时被很多人反对，认为高中的老师教不好微积分，学生们进入大学之后还是要重新再学。这样的争论一直存在。

李增沪：

在不同的国家，高中和大学课程之间的衔接方式也不同。在美国是通过高中生选修AP课程的方式，在法国则是预科制度。

法国的大部分高中生毕业之后会去读大学，另一部分最优秀的毕业生会进入预科学校，在那里用两年的时间，像中国学生备战高考一样，非常认真地去学习微积分等基础课程。预科学习结束之后，经过严格的选拔，进入法国的“精英学院”学习。

在法国，“预科+精英学院”的模式是非常成功的，为法国培养了非常多的科技、管理等领域的优秀人才。

如果中国要借鉴外国的模式，我想相对来讲，美国的AP课程模式比法国的模式更有可行性，更适合中国的实际情况。

实际上，中国已经开始尝试AP课程了，但是在实际实施过程中，如何让AP课程与高校招生挂钩、如何实现AP课程的大学学分认证，每一步都是非常困难的。但是无论如何，这都是值得我们去尝试的方向。

应试教育：浪费掉的17岁

汤超：

有北大的本科生跟我说，他们在高中的最后一年是学不到新东西的，他们会觉得这一年是浪费掉的。

朱华伟：

中学数学教育受制于高考，以高考为导向的应试教育产生了一些不良影响。

首先，应试教育之下，只能是考什么教什么，考什么学什么。经过多年的实践，中国的高考命题已经炉火纯青，题量、题型，甚至题目的顺序都是固定的。

所以全中国的高中都是一样，都围绕着同样的题型，花大量的时间对学生进行反复训练，以能够做得对、做得快、做得准，在高考中取得好成绩为唯一的目标。

第二，这种训练常常扼杀了学生学习数学的兴趣。为了在高考中取得好成绩，就必须进行大量、重复、机械性的训练，最终实现条件反射式的“一看就会、一做就对”。

在这样的训练之下，很多本来喜欢数学的同学无法感受到独立思考和获取新知识的乐趣，丧失了对数学的兴趣。

第三，通过应试训练选拔出来的学生，通常后劲不足。

在高中教学中我们就发现，那些经过机械化训练而在中考中取得好成绩、考入深圳中学的学生，在高中三年中的表现普遍并不理想。

我想高考也是一样，很多高考状元后来的发展也并不出类拔萃，反而是一些通过竞赛进入北大清华的学生，在进入大学之后依然表现出色。

第四，也是最重要的一点，高中三年级整整一年的黄金年华是空转的，这会影响国家未来的竞争力。

对孩子们来说，高三这一年刚好是18岁成人之前的一年，是他们记忆力最好、最容易吸收和理解知识的一年，也是他们思考人生、形成基本价值观的关键时期，是一生中非常重要的岁月。

但是在这一年，全中国的学生都将他们所有的时间用于高考复习，用于反复的机械性训练，这会严重影响他们的创造力、不利于他们的未来发展，也将影响整个国家未来的创新能力和竞争力。

汤超：

您说得非常好。我想如果高考不改变，中国的教育是没有办法发生本质变化的。

朱华伟：

关于高考，我有一个建议，就是首先取消选择题。现在的高考数学有22道题，其中12道选择题，每道题的顺序和题型都是固定的。

我认为这种模式化的选择题是完全没有必要存在的。我们可以从取消选择题开始，再逐渐取消填空题，最后只考解答题。

这样的话，可以让那些靠机械训练取胜的学生不占优势，也让学生们可以在学习和考试中更注重独立思考，能够解决非模式化的问题。

国外有些大学的数学考试就是只有解答题，在中国刚刚恢复高考的时候，高考数学中也没有选择题，但是这些考试的效果也都很好，也能够选拔出优秀的人才。

但是现实是，要改变高考太困难了。不说取消选择题这样的“大动作”，只改变一道题的顺序或者题型，都会在社会上引起很大的反响。

夏志宏：

中国学生确实很擅长应试，举例来讲，每年都有很多中国学生申请到美国西北大学读博，他们都会参加GRE数学考试，成绩常常很高，大多在90%以上。但是每次GRE调整题型，中国学生的成绩马上直线下降，很多降到70%左右。

等新题型维持了几年，大部分中国学生的成绩又回升到90%以上。这就可以看出，中国学生的考试成绩不能真正反映他们的数学水平，而只是训练成果的体现。考虑到这一点，我们在录取过程中也不会看重GRE考试成绩。

所以我想，高考的题型不应该固定，甚至可以每一年都完全不一样。

高考之外：特长学生的选拔

田刚：

正如朱校长所说，高考题目对于数学基本功和数学兴趣的培养意义不大。

在北大数学学院，我们最好的学生大部分是通过竞赛或者自主招生招收进来的，他们通常有更扎实的数学基本功，也对数学更感兴趣，所以后期的发展也更好。相对来讲，高考成绩反而并不能预测学生的未来发展。

现在，国家调整了大学招生政策，推出了新的强基计划。但我想，这些为特长学生而设立的渠道还是应该存在的。也就是说，我们需要在公平和选拔特长人才之间寻找平衡。

汤超：

我也接触到不少通过竞赛进入北大的学生，他们在特定学科的水平确实非常强，但是在其他专业上却常常很弱。

朱华伟：

我想应该分两方面看这个问题。一方面，现在非常偏科的学生其实是很少的。学生都要参加会考，每门课都要通过才能高中毕业。

并且比较好的学校通常不会让学生放下所有事情，专门准备某一项竞赛，因为这对学生的发展不利，风险也很大。

另一方面，如果一个孩子确实是某一方面的天才，我们其实应该鼓励他（她）扬长避短，发挥自己的天赋，没必要让他（她）在机械重复的训练中浪费时间。

深圳中学在2017年与华为合作，设立了“深中-华为特殊人才奖”，来招收和培养那些在某一方面特别有天赋的孩子，为他们提供非常有弹性的教学环境。

对于这样的孩子，如果我们能为他们提供最好的支持，那么他们就有可能成为中国未来的大师，而如果要让他们按部就班地去学每一个学科，可能会毁掉他们。

夏志宏：

对整个国家来讲，能够通过竞赛渠道充分发挥自身特长的只是一小部分。我们或许应该在制度上做些改变，让所有的学生都可以在一定程度上获得个性化的发展，而不是全用一个模子来套，按同样的标准来培养所有人。

美国数学教育的多样性就要大得多，从初中开始，学生就可以按照自身的情况来选择课程，到高中毕业时，同一个年级的学生之间，在数学水平上可能会有两年的差距，其中那些比较优秀的学生，已经上过很多AP课程了。

汤超：

这种灵活的体制还有一个好处，喜欢数学的孩子自不必说，不喜欢数学的孩子也不会因为自己数学不好就感到自卑，担心自己考不上好的大学，因为他们还可以通过其他的能力来进入大学。这对于培养学生的自信和良好的自我认知，也是很有帮助的。

我在美国做教授的时候，每年夏天都会收到很多高中生的来信，他们希望能够到我的实验室来呆一个夏天，体验一下生物学研究，好知道自己对这方面是不是真的感兴趣。

但是我回国这么久以来，从没收到过任何一个国内中学生的这类申请。

夏志宏：

我也会收到这样的申请。但我想美国高中生愿意进实验室，也是因为这些经历会对申请大学有帮助。

田刚：

确实如此，如果对高考有帮助，中国学生也会有这方面的兴趣。其实科协组织的“英才计划”也在做类似的事情，希望能鼓励高中生进入大学实验室，培养他们的专业兴趣。

但是这个计划目前的规模还不大，今年在数学方向只有120人左右参加。而且因为这个计划与高考无关，所以学生的参与兴趣比较有限。

杨金龙：

我也参与了英才计划化学学科的工作。现在这个计划还只在20所高校中进行，也只有这20所高校所在城市的高中生可以参与。参与计划后，他们需要每两个星期到大学里面去体验一天。

但是在这两年，中学生参加英才计划的积极性是有所提高的，报名之后的竞争也比较激烈。其中一个原因是，现在有越来越多的学生准备到国外去读本科，而这样的经历对他们有帮助。

夏志宏：

我们有没有可能扩展这个计划？是否可以不由科协集中管理，而是由各高校自行组织？

杨金龙：

目前来讲，扩展的难度还是比较大的。一方面这个计划需要科协的资金支持，另一方面，也需要高校方面具备一定的条件，要有有能力并且愿意做这些工作的教师。

数学的重要性：逻辑之根、科学之母

田刚：

很多普通人在日常生活中用不到高深的数学知识。那么大家认为数学的重要性何在？每个人都应该掌握的基本数学知识应该包括哪些？

汤超：

我觉得不管是哪个专业的学生，应该至少要学习微积分、线性代数和统计学。当然如果是文学、艺术类的专业，可以学得简单一些，只了解基本的概念。

夏志宏：

我想学习数学最大的意义不是去掌握微积分、三角函数等具体的数学知识，而是一种思维训练，让你理解思维是一个严谨的过程，需要有根据地从A推到B，再从B推到C，而不能凭空插入没有依据的东西。

除了思维的严谨性，数学训练还可以培养人的抽象思维能力，可以去理解超出基本三维空间的事物。许多人在生活中确实不需要微积分，但是这种思维训练对于任何人来说都是必不可少的，就像每个人都需要基本的人文素养一样。

李增沪：

数学的应用可以说是无处不在的，比如人们最近谈论很多的药物有效性检验的“随机双盲大样本”原理，其数学基础就是“独立性检验”理论。这些知识应该就属于夏老师提到的“基本的人文素养”，现行高中数学中已经包含了这些内容。

杨金龙：

数学在各个学科中的重要性都越来越强。

举例来讲，化学原本是实验科学，但是随着理论化学的发展，我们已经开始希望能在量子力学的层次上去理解化学反应，这就需要许多物理理论和数学工具，包括薛定谔方程，以及与之相关的复函数、矩阵分析等数学工具。

此外，近年来机器学习快速发展，我们也开始用它来设计和分析化学反应，这其中的算法也是数学问题。

汤超：

生物学也是一样。传统的生物学都是描述性的，但是现在技术突飞猛进，收集到的数据、观察到的现象越来越多，不借助数学工具是没有办法从中提取信息、理解其中规律的。所以现在，信息学、统计学、人工智能等都在生物中有所应用。

而我想更重要的是，生命现象是非常独特的，我们可能还没有找到适合它的数学语言。

我们知道，牛顿在研究行星运动的过程中创造了微积分。那么我们有没有可能和数学家合作，创造出真正适合生命科学的数学语言，从而推动整个生命科学领域的发展？

田刚：

这一点非常重要。一个成熟的学科，一定有自己的基本理论，可以基于理论做出预测。在生物学领域，是不是也会出现这样一些理论？

汤超：

我想会的。现在正是在生命科学领域中应用数学的好时期，已经有人在用数学方程来描述生物系统的鲁棒性、理解生物系统的功能和设计原理等，类似的工作一定会越来越多。

夏志宏：

对于大数据、人工智能等新兴技术，从本质上说，它们的算法问题其实是纯粹的数学问题。

对于很多学科，包括计算机，也包括杨老师刚刚讲到的化学，在这些学科创立之初，人们不觉得它有多么依赖于数学，但是当它逐渐发展，越来越成熟，人们却发现它对数学的依赖性非常强。我想这正是数学的重要之处。

本科数学教育：如何开课？如何上课？

田刚：

各位老师招收的研究生能满足您所在学科的数学要求吗？或者说，我们的本科教育能培养出具有足够数学能力的未来研究者吗？ 

汤超：

我招收来自生物、数学、物理等很多专业的研究生，其中本科为数学和物理专业的学生通常数学很好，但是本科为生物学专业的学生常常不够好。

当然也不是全部，也有少数生物学专业的学生出于自身兴趣，在本科阶段打下了比较好的数学基础。

杨金龙：

我的感觉也类似。我自己是物理学背景，现在做计算化学研究。我招收的研究生既有物理学专业的，也有化学专业的，其中物理学背景的学生基本能满足我们的数学要求，而很多化学背景的学生差距较大。

不过值得指出的是，本校（中国科大）化学专业培养出来的学生通常数学基础还不错。

一方面，科大一直都很重视数学和物理的基础教育，化学专业的数学课程与物理学院的差别不大，都要上两年多的数学课。

虽然很多学生会抱怨，科大的数学、物理课程太重了，但是我们还是会告诉他们，对于所有的理工科专业，扎实的数学基础对于今后的人生、职业发展都是大有帮助的。

另一方面，我们对化学专业的课程做了一些调整，把理论化学、量子化学放在大二，让学生们在比较早的时候就接触到现代化学的理念，也理解数学知识对于化学的重要性。

这样，他们自然会认真学习数学，也对化学本身有更深入的认识。

而在科大之外，大部分学校都没有这样的意识，他们对化学专业学生的教育还停留在传统的框架上，除了物理化学专业等个别二级学科，大部分化学专业的本科生都不会学习量子化学，学生的数学水平也很不够。

汤超：

你们这个思路很好。生物学专业的本科生常常没有学习数学的动力，因为他们觉得数学与生物之间没有什么关系。如果在数学的教学中能够多举一些生物学相关的例子，可能会增加他们学习数学的兴趣。

在北大，我们开办了一个整合科学实验班，希望将数学、物理等整合到生命科学中去。我们请正在用数学、物理方法从事生命科学研究的老师来给学生们授课，希望能培养出新一代的生物学人才。

李增沪：

要在教学中实现学科交叉，要从鼓励跨学科的科学研究开始。

如果不同学院之间的老师经常有合作，了解其他领域，同时也有更多研究者用数学工具来做各学科的研究，那么当这些老师给学生上课的时候，自然就会将这些理念传达给学生，让学生了解到数学在各个领域中的重要作用。也就是说，教师队伍的素质是非常重要的。

田刚：

下一个想请大家讨论的问题是，如何才能提高本科数学教育的质量？

对于数学学科本身，师资队伍的基本功水平是非常重要的。在80年代刚刚恢复高考的时候，我们的数学研究水平跟国外有相当大的差距。

但是当时，有相当一部分大学教师曾经接受过非常严格的数学基本功训练，所以他们还是培养出了一批相当优秀的数学专业的学生。

夏志宏：

我觉得要培养学生对数学的兴趣，开设以学生为主体的讨论班是很好的做法。我知道北大和南科大都有这样的课程，请一位老师带领几名学生，就学生感兴趣的问题进行讨论。 

杨金龙：

科大也有这样的讨论班，我们给大一学生开设为期一年的“科学与社会”课程，由一名导师带10个左右的本科生，学生给出主题，老师参与讨论。在数学相关的讨论课中，学生们可以充分感受到数学与各行各业之间的关联。

夏志宏：

本科教育中还有一个小问题，就是我们经常请一些名人来做报告，但是很多名人其实不擅长作报告，本科生根本听不懂他们在讲什么。

所以我们在邀请报告人的时候，应该不只考虑他们的学术成绩和声望，也要考虑他们作报告的能力，多提供一些本科生能够听懂、能够受到启发的数学相关的报告。

数学研究：中国的成长与挑战

李增沪：

在过去20多年中，中国的数学研究是加速发展的，这和一批优秀学者回国发展有很大的关系，他们做出了很大的贡献。

田刚：

确实如此，过去一段时间，我们的师资队伍水平有所提高，并且开始培养出新一代的优秀学者。

我国数学家在几何分析、代数几何、复几何、数论等方向上都做出了非常不错的工作，也有希望形成一些具有特色的学派。但是需要指出的是，在引领性、创新性的前沿研究中，我们还与国外顶尖水平有一定的差距。

汤超：

原创性研究不足这个问题，在各个学科中都存在。

那么造成这个问题的根源是什么呢？是我们的教育体制不能培养创新的人才，是我们的科研体制不能鼓励创新，还是我们的人才体制不能吸引人才？

夏志宏：

这几方面的原因肯定都有。但我想就像朱校长谈到的，应试教育对于创新型人才的培养和选拔是不利的。应试教育的优势是培养整齐划一的技术工人，而不是培养原创性的人才。

另外，我觉得不应该要求所有高校的数学老师都去做科研。许多学校的老师本身科研能力不高，他们完全可以把精力放在教学上，而如果大家都来做研究，非但不能做出好的成果，反而可能损害数学研究的风气和氛围。

田刚：

现在，北大、科大等学校已经可以培养出高水平的数学专业本科生，但在国际上，我们还是缺少对优秀人才的吸引力。

一方面，我们培养的优秀本科生还是更愿意出国深造，另一方面，也很少有国外的学生愿意来中国进修。结果是，国内研究生、博士后的整体水平和国际化程度都还有待提高。

夏志宏：

确实有很多中国学生到美国去读数学专业的博士。

但我发现，这些学生中有很多并不真正对数学感兴趣，他们只是把数学作为一个出国的跳板，到了美国之后会很快转到商学、工业工程等其他专业。

但是美国学生不会这样，他们来读数学的博士，多半是真的对数学感兴趣，想要从事数学研究工作。

总结：两个建议

田刚：

最后，我们来总结一下前面的讨论，为中国的数学教育提一点意见。当然刚才朱校长已经提了一个具体的意见，就是去掉高考的12道选择题。除此之外，我们或许还应该给高校更多的自主权。

夏志宏：

确实如此，应该让每所学校按自己的方式来管理和运行，这样才会有多样性，才会有创造性。

李/汤/杨/朱：

从去掉选择题开始改革高考，同时给高校更多自主权，这两条是我们大家一致的建议。

来源：科学网