射影距离

射影距离(projective distance)是射影几何的一个术语，指射影几何中所定义的两点之间的距离。例如在射影平面上取定一个非退化的二阶曲线，若取一个常数k(k≠0)，平面内任意两点A，B的连线与二阶曲线交于P，Q两点，则d(A,B)=kln(AB,PQ)是两点A，B的函数，且有以下性质：对于任何共线点A，B，C，d(A，B)+d(B，C)=d(A，C)。由于函数d(A，B)由有序点对A，B惟一决定，而且满足射影不变性和可加性，因此把函数d(A，B)称为两点A与B间距离的射影测度，简称射影距离。射影距离是射影变换下的不变量，预先取定的非退化二阶曲线称为这测度的绝对形，k称为测度系数或单位1。

基本介绍距离的射影测度(射影距离)和夹角的射影测度(射影角度)合称为射影测度(projective measure)。射影测度是凯莱(A.Cayley)于1859年建立的，1871年，克莱因(C.F.Klein)利用射影测度的概念来说明非欧几何学。非退化的二阶曲线有实虚两种情况，若绝对形为非退化的实二阶曲线，则可构成罗氏几何；若绝对形为非退化的虚二阶曲线，则可构成黎氏几何，这两种几何合称非欧几何，这样非欧几何就可以从射影测度的概念导出，因为射影测度是由交比来定义的，它属于射影性质，所以非欧几何可以利用射影测度从射影几何导出2。

在平面内，给定一条常态的二阶曲级，并选定一常数K(K≠0)。对于平面内的任意两点A、B，它们的连线交二阶曲线于P1、P2(图1)，作函数

函数d(A，B)被A、B两点唯一确定(除符号外)，利用交比的性质，可以验证函数d(A，B)满足下列三个条件；

1．d(A，A)=0；

2．d(A，B)=-d(B，A)；

3．若A、B、C是一直线上的三点，则d(A，B)+d(B，C)=d(A，C)。

定义函数称为两点A、B间的有向距离的射影测度，简称为射影距离。预先规定的二阶曲线称为这测度的绝对形，常数K称为测度系数2。

设二阶曲线的方程为

二点A，B的坐标分别为(a1，a2，a3)及(b1，b2，b3)，类似地可求出射影距离的表达式

其中。

由射影距离的定义还可以看出，当A(或B)P1(或P2)时，交比(P1P2，AB)0，d(A，B)。因此有

定理平面上任何一点与绝对形上的任何点间的射影距离为无穷大。

由定理可以看出，作为绝对形的二阶曲线与欧氏测度中的无限远直线相当。

定义设二直线的交点在实的绝对形上，则称这二直线为平行直线。

相关概念与定理在平面内，取定一条常态二级曲线，并选定一常数k(k≠0)。对于平面内的任意两条直线a、b，从它们的交点引的两条切线t1、t2(图2)，作函数

因为二直线a、b确定以后，它们的交点也就唯一地确定，二切线t1、t2随即也被确定，由于

所以函数由二直线a、b唯一确定(除符号外)。利用交比的性质，可以验证函数满足下列三个条件2：

1．，

2．；

3．若直线a、b、c相交于一点，则

定义函数称为二直线a、b的有向夹角的射影测度，简称为射影角度。预先规定的二级曲线称为这测度的绝对形，常数k称为测度系数2。

下面我们研究射影角度的表达式。

设二级曲线(给定的绝对形)的方程为

二直线a、b的坐标分别为及，由a、b的交点所引的二切线t1、t2(它们a、b属于同一线束)的坐标可以表为

由于与二级曲线相切，故有

展开，得

其中。

所以

如果以表示这两个根，那么的坐标分别为

因此

关于射影角度，我们有如下的定理。

定理如果二直线的交点在绝对形上，则它们的夹角的射影测度等于零。

证明若二直线a、b的交点在绝对形上，过此交点所引的的两条切线重合为一条直线，即，交比(tt，ab)=1。

。

定理说明，两条平行直线所成的夹角等于零2。

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武伟 - 高级工程师 - 天津直升机有限责任公司