运动公理(axiom of motion)是合同公理的另一种表现形式，平面上的运动公理组包括下面六条公理：1.运动把点变为点，把直线变为直线，并且保持结合关系和顺序关系。2.存在这样的运动，把每一个点，每一条直线变为本身，称为恒等运动。3.一个运动之后继以另一运动称为这两个运动的乘积，任意两个运动的乘积仍是运动，对于每个运动必存在另一个运动，使这两个运动的积是恒等运动。4.若运动把某条射线和它的端点变为本身，则射线上的每一点都变为本身。5.若A，B，C是某一图形中不在同一直线上的三点，则存在惟一一个运动，使图形按下面的方式变为另一图形：1) 点A变为已知点A′；2) 点B变为以A′为端点的已知射线h′上的某一点B′，即射线AB变为射线A′B′；3) 点C变为射线h′已知一侧的某一点C′。6.存在运动把线段AB变为BA;也存在运动把∠AOB变为∠BOA。在构造欧氏几何的公理系统时，可采用运动公理组代替与其等价的合同公理组1。
基本介绍在希尔伯特所提出的欧氏几何公理组Ⅰ一Ⅴ中，在组Ⅲ里的“合同”作为基本概念，运动作为派生概念。为了把公理法与克莱因的群论原则结合起来，在希尔伯特之后，就有一些几何专家依照欧几里得在“原本”里的思想，以“运动”为基本概念，而把运动下的对应图形定义为合同图形。关于运动，则用以下10条公理来规定。
公理Ⅲ'1 运动是平面到自身(或空间到自身)的变换，它把点变为点，直线变为直线(平面变为平面)。
公理Ⅲ'2 运动把在直线上的点变为像直线上的点。
公理Ⅲ'3 运动把共线上有序三点变为像直线上同序三个像点。
公理Ⅲ'4存在一个运动把平面上的每个点变成自身(恒等变换)。
公理Ⅲ'5 任意两个运动的乘积仍是一个运动。
公理Ⅲ'6 对于每个运动必存在一运动使得这两个运动的乘积为恒等变换(逆运动)。
公理Ⅲ'7若运动把某条射线和它的顶点变为自身，那么射线上各点都变为自身。
公理Ⅲ'8 设在一个平面上有两个点P与Q，和以它们为顶点的两射线PA和QB，以及由这两条为射线所在直线为边缘的半平面α和β，那么存在唯一运动，把点P变为点Q，射线PA变为射线QB，半平面α变为半平面β。
公理Ⅲ'9 存在运动把线段AB变为线段BA。
公理Ⅲ'10存在运动把角∠(h,k)变为角∠(k,h)。
上述10条公理合成一个公理组Ⅲ'，叫做运动定理。其中公理Ⅲ'9和Ⅲ'10又叫做反射公理2。
相关定理由公理Ⅲ'1-3可推出（以下定理的证明请参考相关文献2）：
定理1 每个运动都把线段变为线段，射线变为射线，半平面变为半平面。
在组Ⅰ、Ⅱ的基础上，组Ⅲ'与Ⅲ是等价的。下面举例说明。
定理2 设A和B是直线a上的两个点，又A'是同一直线或另一-条直线a'上的点，则在直线a'上点A'的任意指定的一侧存在唯一一点 B'，使得线段AB= A'B'。
证明： 设点A'是直线a'上一点，并指定某一侧为射线A'B' ，以直线a,a'为边缘的半平面分别为α和α'，由公理Ⅲ'8可知，存在一个运动f,使得点A变为点A' ，射线AB变为射线A'B',点B变为射线A'B'上的一点B'，即线段AB变为线段A'B'，就是说AB≡A'B'。现证点B'是唯一的。以直线a、a'为边缘的另一对半平面分别记β和β'，也存在一个运动f'，把点A变为点A' ，射线AB变为射线A'B'，β变为β'，而点B变为点B"。由公理Ⅲ'6知，存在f的逆运动f-1，它把射线A'B'变为AB；又由公理Ⅲ'8知，f'f-1也是一个运动，它把射线A'B'变为射线A'B'，因此根据公理Ⅲ'7，A'B' 上所有点均不变，从而 f'f-1(B')) = B'，但f'f-1(B') = B"，故B' = B"2。
定理3图形
的合同关系满足：
1.反射性:
。
2.对称性:若
，则
。
3. 传递性：若
，则
。
推论 若线段A'B'= AB，A"B"= AB，则A'B' = A"B”。
定理4 设AB与BC是直线a上而无公共内点的线段，A'B'与B'C'是直线a'(或a=a')上两条无公共内点的线段，若AB= A'B'，BC= B'C'，则AC= A'C'2。
定理5 如图1所示，设平面α上给定一个角∠(h,k)，在同一个或号一个平面α'上给定直銭a'，而且在平面α'上指定了直线a'的一侧，设h'是直线a'上从一点O'出发的射线，那么在平面α'上存在着唯一的一条射銭k'，使得∠(h,k)合同于∠(h',k')；而且∠(h',k')的所有内点都在直线a'所指定的那一侧，并且毎个角都与它自身合同，即∠(h,k)= ∠(h',k')；∠(h,k)= ∠(h,k)。
定理6 如果两个三角形△ABC与△A'B'C'之间满足：AB≡A'B'，AC≡A'C'，∠BAC≡∠B' A'C'，则∠ABC≡∠A'B'C'，∠ACB≡∠A'C'B'，BC≡B'C'。2
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杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所