弧长函数(arc length function)，是指量度弧长的函数。设Γ为定义在[a，b]上的可求长曲线，对t∈[a，b]，Γ的参数表示φ对[a，t]的限制所表示的曲线的长度记为L(t)，如此定义的函数L：[a，b]→[0，l]称为弧长函数，这里l是Γ的长度，L是严格增函数，存在反函数L-1：[0，l]→[a，b]，复合函数φ°L-1：[0，l]→Rn称为Γ的以弧长为参数的表示，弧长参数以s表示，这样，Γ有参数方程x=φ(L-1(s)),s∈[0,l]。每一条可求长曲线都有以弧长为参数的表示，这种表示称为曲线的自然方程1。
基本介绍定义 设函数f(x)在区间(a，b)上具有连续导数，曲线y=f(x)在每点处都存在切线，如图1所示。在曲线y=f(x)上取定一点
作为计算弧长的起点，另外任取一点N(x，y)，则从点M到点1N的有向弧长(和弧的长度不同)记为s，它是x的函数，称为弧长****函数，记为
我们规定：当点N在点M的左侧(
)时，s为正值；当点N在点M的右侧(
)时，s为负值。所以弧长函数是x的单调增加函数2。
弧长函数的导数和微分定理1 设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a，b)内具有一阶连续导数，则弧长函数s(x)可微，且
则(1)式称为弧微分公式2。
证明 如图1所示，当横坐标由x变为x+△x时，它在曲线上对应的点为P，对应于x的增量△x，弧长函数的增量为
当P与N充分接近时，弧
的长度△s近似地可以用其所对应的弦NP的长度
来代替，如图1所示，且
因为
或
当
时，上式两端取极限可得
因为s(x)是x的单调增加函数，所以取
由此可得弧长微分公式
如果曲线的方程是由参数方程
或极坐标方程
给出，且
均有连续导数，则分别有弧长微分公式
和
(2)式是显然的，在极坐标的情况下，
所以2
本词条内容贡献者为:
胡建平 - 副教授 - 西北工业大学