勒贝格-康托尔函数是由格奥尔格·康托尔创立的，他创立了现代集合论，是实数系以至整个微积分理论体系的基础，还提出了势和良序概念的定义；康托尔确定了在两个集合中的成员，其间一对一关系的重要性，定义了无限且有序的集合，并证明了实数比自然数更多。康托尔对这个定理所使用的证明方法，事实上暗示了“无限的无穷” 的存在。他定义了基数和序数及其算术。康托尔很清楚地自知自觉他的成果，富有极浓厚的哲学兴趣。康托尔提出的超越数，最初被当时数学界同侪认为如此反直觉-甚至令人震惊-因而拒绝接受他的理论，且以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家长期攻击。克罗内克反对代数数为可数的，而超越数为不可数的证明。
数论，三角级数和序数康托尔的前十篇论文题目是关于数论。在哈勒大学教授爱德华海涅的建议下，康托转向分析。海涅提出了困惑著Peter Gustav Lejeune Dirichlet、Rudolf Lipschitz，Bernhard Riemann和海涅自己的问题：如何呈现三角级数的建构函数的唯一性质？康托尔在 1869年解决了这个难题，而在研究这个三角级数唯一定理的时候，他发现了超限序数，出现在对于三角级数的集合S，其下标为n的第n个索引的导出集合Sn之中。
1870 至 1872年之间康托尔发表了更多关于三角函数的论文，并且还将无理数定义为有理数的收敛序列。戴德金引用了这篇论文，并在他的论文中首次提出了戴德金切割的实数定义。即使康托尔革命性地以无限基数的概念来扩大集合概念的同时，他却自相矛盾地反对同期数学分析学者 Otto Stolz 和 Paul du Bois-Reymond 的无限小理论；康托尔还发表了一个错误的“证明”，试图证明无穷小量的不一致性。
集合论一一对应和对角线证明方法
康托尔提出了通过一一对应的方法对无限集合的大小进行比较，并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势，即可以被认为是“一样大”的。他引入了可数无穷的概念，用来指与自然数集合等势的集合，并证明了有理数集合是可数无穷，而实数集合不是可数无穷，这表明无穷集合的确存在着不同的大小，他称与实数等势（从而不是可数无穷）的集合为不可数无穷。原始证明发表于 1874年，这个证明使用了较为复杂的归纳反证法。1891年他用对角线法重新证明了这个定理。另外，他证明了代数数集合是可数集，以及 n维空间与一维空间之间存在一一对应。在上述理论的基础上，康托尔又系统地研究了序数理论，提出了良序定理，即可以给任何集合内的所有元素定义一个大小关系，使得任意两个元素都可以比较大小，且该集合的任意子集都有最小元素1。
连续统假设
参见：连续统假设
康托尔晚年致力于证明他自己提出的连续统假设，即任意实数的无穷集合或者是可数无穷或者是不可数无穷，二者必居其一，但没有成功。
绝对无限的，有序的定理和悖论
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杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所