狄拉克的方程游戏（一）

来源：中国物理学会期刊网

转载自“现代物理知识”微信公众号

维尔切克  著

丁亦兵1  乔从丰1  李学潜2  沈彭年3  任德龙1  译

1 中国科学院研究生院 ，2 南开大学物理学院， 3 中国科学院高能物理所 

本文是2004年诺贝尔奖得主、著名理论物理学家维尔切克（F. Wilczeck）所著的高级科普著作《神奇的现实》（Fantastic Realities）中的部分章节。由于各种原因，这些章节在译著出版时被删除了。但其内容于普及和深化理解现代物理却是非常重要的。我们得到了原作者的首肯，从舍弃的章节中挑选了部分章节翻译发表。现在刊登的这一部分，专门讨论了量子场论的发生与发展。可称之为量子场论通俗入门。

狄拉克

“不可否认：这些数学公式是独立存在的，并且有着它们自己的智能；它们比我们更聪明，甚至比发现它的人更聪明；我们从它们那里得到的要比原来赋予它们的多得多。”

——H. 赫兹，关于麦克斯韦的电磁学方程

“我做的大量工作只不过是用方程玩游戏，看看它们能给出什么。”

——P.A.M.狄拉克

“它恰恰给出了人们所需要的电子的特性。这对我来讲真是一笔出乎意料的奖金，完全出乎意料。”

——P.A.M.狄拉克 关于狄拉克方程

在所有的物理学方程中，狄拉克方程或许是最 “不可思议”的。它的推导最直截了当，极少受实验的约束，是一个具有最奇异和最惊人影响的方程。

1928年初（原始论文的接收日期是1月2日），一个刚从电力工程转行到理论物理的25岁的年青人保罗·阿德里安·莫里斯·狄拉克（1902~1984）推导出了一个引人注目的方程，这个方程后来一直被称之为狄拉克方程。狄拉克的目标非常具体，即瞄准了当时的热门课题。他想写出一个能比已有的一些方程更精确地描述电子行为的方程。因为那些方程要么只考虑了狭义相对论，要么仅考虑了量子力学，但从未两者兼顾。当时一些更有名气的和更有经验的物理学家也正在研究同样的课题。

不同于那些物理学家，也不同于伟大的经典物理学家牛顿和麦克斯韦，狄拉克并没有从对实验事实进行详细的研究开始。他只是利用几个基本的事实和所谓的理论上的必要条件来指导研究工作，其中的一些条件现在已经知道是错误的。狄拉克试图用一个简洁的、数学上自洽的方案来具体表达这些原理。诚如他所言，通过“方程游戏”，他无意中发现了一个特别简单、优美的答案。当然，这就是我们现在称之为狄拉克方程的方程式。

狄拉克方程的一些推论可与已有的实验观测数据做比较。它们很有效，解释了一些用别的方法都极难理解的结果。特别是下面就要说到的，狄拉克方程成功地预言了电子永不停息地自旋，因而它们相当于小磁铁棒。它甚至预言了自旋的速率和磁性强度。但有些结果似乎与显而易见的事实不一致。狄拉克方程明显地包含了这样的一些解，它们似乎描写常规的原子在一瞬间自发地消失成光猝发的方式。

几年的时间里，狄拉克和其他物理学家都在与一个异乎寻常的佯谬奋争。一个方程因其能正确无误地解释很多精确的实验结果且又能极端漂亮地去引导物理而被认为是“显然正确”的——但又怎么会具有明显灾难性的错误呢？

狄拉克方程已成为基础物理赖以运转的支柱。在保持对其数学形式信任的同时，物理学家不得不重新审视方程中那些符号的意义。这是令人困惑的、伤透脑筋的重新审视，在其间，沃纳·海森堡在给他的朋友沃尔夫冈·泡利的信中写道,“现代物理最可悲的篇章就是狄拉克理论和允许其存在”，并且“为了不会因狄拉克而烦恼，我决定改变一下去做作些别的事情……”。正是在这个时刻，真正的现代物理开始了。

一个引人瞩目的结果是对反物质的预言——更精确地讲，应该存在一种新的粒子，它具有与电子相同的质量和相反的电荷，并且能与电子湮灭成纯能量。1932年，卡尔·安德森通过细心地检查宇宙射线径迹很快地找到了这种类型的粒子。

更为深入涉及的结果是我们将完全重写描述物质的基础。在这种新物理中，粒子只是瞬息存在。它们可以自由地产生和消灭；确实，它们的短暂存在和转化是一切相互作用的源泉。真正基础的东西是无所不在且具转换能力的以太：量子场。这些就是构成我们极其成功的现代物质理论基础（经常被毫无诗意地称为标准模型）的概念。尽管狄拉克方程本身被彻底地重新解释并广泛地推广，但它从没被抛弃，仍是我们理解自然的核心支柱。

狄拉克发现的直接原因以及他考虑这个问题的方法是调和两个成功的高级物理理论的需要，当时这两个理论已经有些不同步。到1928年，爱因斯坦的狭义相对论诞生已有20多年，已经被很好地理解和完全地证实。（这里，描述引力的广义相对论不在我们的讨论范围之内。引力在原子尺度上非常微弱，可以忽略。）另一方面，尽管海森堡和薛定谔的新量子理论是个相当年轻的理论，它们已提供了对原子结构的深入了解，并且成功地解释了很多原先很难理解的现象。显然，他们抓住了原子中电子动力学的基本特征。困难在于，海森堡和薛定谔给出的方程不是以爱因斯坦的相对论力学为基础，而是以牛顿的古老的力学作为出发点。对所有速度比光速小得多的系统，牛顿力学是一个非常出色的近似，它包括了原子物理学和化学中的许多有趣的情况。然而，能用新量子理论处理的那些原子光谱的实验数据非常精确，以致对“海森堡-薛定谔预言”的微小偏离也能观测到。所以存在着强烈的“实用”动机去寻找一个基于相对论力学的、更精确的电子方程。不仅年轻的狄拉克，而且还有其他几位资深物理学家也在寻找这样的方程。

事后，我们能察觉到更多的既古老又基本的二重性在起作用，如：光相对于物质；连续相对于分立。这些二重性为实现对自然界统一描述的目标设置了巨大的障碍。在狄拉克和他的同代人试图调和的理论中，相对论是光和连续的产物，而量子理论是物质和分立的产物。在狄拉克的革命按其规律发展之后，在思路拓展的观念混合物，即我们称其为量子场论中，所有的二重性都被协调了。

光/物质和连续/分立这些二重性有着深刻的含义。最早的有感知力的原始人类就注意到了它们。古希腊人已经清晰地把它们表述了出来，并为此展开了辩论，但毫无结论。特别是，亚里士多德把火和土作为初始元素——光相对于物质。他反对原子论者，赞同充满基本物质的空间（“自然憎恶真空”）——维护连续，反对分立。

这些二重性并没有因经典物理的成功而消除；实际上，它们的矛盾更尖锐了。

牛顿的力学最适合描述刚体在空间中的运动。牛顿本人在很多地方猜测过这些二重性的哪一面可能占首要地位，而牛顿的追随者们则强调他的“坚硬的、有质量的、不可穿透的”原子是自然的基本组分。甚至用粒子作为光的模型。

19世纪初期，一个截然不同的光的图像获得了巨大的成功，基于这个图像，光是由波组成的。物理学家们都相信，应该存在一种连续的、充满空间的以太来承载这些波。法拉第和麦克斯韦的发现改进和强化了这个观点，将光等价于电磁场的作用，而电磁场本身就是充满空间的连续实体。

如同路德维格·玻尔兹曼所做的那样，麦克斯韦本人还成功地展示，如果气体是由许多很小的、分立的、明显分离开的原子组成，且这些原子可在除去原子之外的空虚的空间中运动，那么所观察到的气体的性质，包括很多令人惊奇的细节，都可以得到解释。此外，J. J.汤姆孙从实验上，亨德里克·洛仑兹从理论上，都证实了作为物质基本组元的电子的存在。看来电子是牛顿所欣赏的那种不可消灭的粒子。

这样在20世纪开始时，具有两种完全不同的理论特色的物理就不得不令人不舒服地共处了。麦克斯韦的电动力学是一个没提到质量的电磁场和光的连续理论。而牛顿的力学则是分立粒子的理论，它们唯一强制的性质是质量和电荷。

早期的量子理论沿着这种二重性的分叉向两个主要分支发展，但有一些交汇的迹象。

一个分支是处理光的，它始于普朗克关于辐射理论的工作，而在爱因斯坦的光子理论中达到了顶峰。它的中心结论是光以不可分割的最小单位，即光子的形式出现，光子的能量和动量正比于光的频率。当然，这个分支就确立了光的类粒子的一面。

第二个分支始于玻尔的原子理论，而于处理电子问题的薛定谔波动方程处达到了巅峰。它确定绕原子核运动的电子的稳定组态与波振动的规则模式有关。这个分支建立起了物质的类波特性。

这样一来，基本的二重性问题就缓解了。光有点像粒子，电子有点像波。但鲜明的对比依然存在。特别是有两个差别将光和物质明确地区别开来。

首先，如果光是由一些粒子组成的，那么它们必须是一些很奇特的具有内部结构的粒子，因为光可以被极化。为合理地处理光的这种特性，它的粒子必须具有某种相应的性质。若只说明一束光是由如此如此多的具有这般这般能量的光子组成，这些事实会告诉我们光束有多亮，是什么颜色，但不能告诉我们它是怎样极化的，因此这种对光束的描述是不充分的。要得到完整的描述，还必须能够说出光束有什么样的极化方式，这意味着每一个光子必须以某种方式携带能保持光的极化记录的箭头。这似乎使我们背离了基本粒子的传统观念。如果存在箭头，它是由什么构成的？为什么它不能与粒子分离开来？

第二点而且也是更为深刻的一点，即光子是瞬时即逝的。因为当你打开手电筒时，光可被辐射；也因为你用手盖住了手电筒，光可被吸收。所以光的粒子可以被产生或消灭。光以及光子的这种基本的和熟悉的特性使我们远远背离了基本粒子的传统观念。物质的稳定性似乎要求不可消灭的组分，它们具有与瞬时即逝的光子根本不同的性质。

狄拉克方程和由它引发的危机最终迫使物理学家去超越所有这些二重性。其结果导致了一个统一的物质观念，这当然是人类才智最伟大的成就之一。

狄拉克力图调和量子力学与狭义相对论。他认为——我们现在知道这是错误的——量子理论需要一类被数学家称之为一阶方程的特别简单的方程。不必介意他为什么会这样想，或者准确地说一阶意味着什么；他想要的是在一定程度上非常精确的、有可能最简单的一类方程。这就产生了压力，因为找到一个既在这种意义下简单又与狭义相对论要求相容的方程是不容易的。为构造这样一个方程，狄拉克不得不放宽讨论的措辞。他发现采用单个的一阶方程不能达到他的目的——他需要一个复杂关联着的四个方程的系统，实际上“我们所指的”狄拉克方程正是这样的一个系统。

两个方程是最受欢迎的。而四个方程一开始就是一个大问题。

首先，看看好的一面。

尽管玻尔理论对原子光谱给出了一个不错的粗糙的解释，但仍存在着很多细节上的偏离。其中一些偏离与能够占据每一条轨道的电子数目相关，另一些则涉及原子对磁场的响应，显示于原子的谱线移动。通过对实验证据的仔细分析，沃尔夫冈·泡利证明了，只有严格限制占据任意给定轨道的电子数目，玻尔模型才能描写复杂原子，尽管只是粗糙的描述。这就是著名的泡利不相容原理的起源。今天我们知道这个原理的形式是“只有一个电子可以占据一个给定状态。”但泡利的原始提议没有这么简洁；它有一些使人烦恼的难懂的文字。可以占据一个给定玻尔轨道的电子数不是一个，而是两个。泡利晦涩难懂地提到一种“经典上不可描述的两重性”，但——不用说——没有给出任何理由。

1925年，两个荷兰大学生塞缪尔·哥德斯密特和乔治·乌仑贝克提出了一种磁响应问题的可能解释。他们展示，假如电子确实是个微小的磁体，则偏离就会消失。他们模型的成功要求所有电子必须具有他们计算出来的相同的磁性强度。他们接着建议了一个电子磁性的机制。电子当然是带电荷的粒子。做圆周运动的电荷产生了磁场。所以如果电子由于某些原因永远绕自身的轴旋转，它们的磁性就可能得到解释。这种电子内禀自旋还会有一个额外的好处。如果旋转速度是量子力学所允许的最小值，则泡利的“两重性”就可以解释了。自旋的大小不能随意变化，只有方向向上或向下方的选择。许多知名的物理学家都对哥德斯密特和乌仑贝克的观点持怀疑态度。泡利本人也试图劝阻他们不要发表他们的工作。一则，他们的模型似乎要求电子以极高的速度旋转，在电子表面，速度可能超过光速。再则，他们也没有给出是什么东西把电子维系在一起。如果它是电荷的延展分布，而且所有的电荷都同号，则它将会飞散开——而靠引入离心力，旋转只会使问题更糟。最后，在他们对电子磁性强度和自旋大小的要求之间存在着定量上的不匹配。这两个量的比率由一个称为回转磁比，记为g的因子所决定。经典力学预言g＝1，然而为了拟合数据，哥德斯密特和乌仑贝克假定g＝2。除去这些十分合理的异议，他们模型的结果与实验观测一致的记录继续顽强地保持着！

进入到狄拉克的理论。在低速情况下，他的方程组有这样的一类解，在方程的四个函数中，只有其中的两个对方程的解有可观的贡献。这是一种不同的两重性。在这里，它是由于落实基本原理而自动出现的，并且确定无疑不是必须特别引入的。更奇妙的是，不需要做进一步的假设，狄拉克就可以用他的方程算出电子的磁性，得到g＝2。狄拉克写于1928年的杰作没有一个废字。在展示这个结果时，他简单地说道“磁矩正是在自旋电子模型中所假设的”。几页之后，他推演出进一步的必然结果，并简明地总结道“这样在一级近似下，目前理论给出的能级与C.G.达尔文所得到的能级相同，它们与实验是一致的。”他的这些结果有着强烈的说服力，用不着夸大。从那以后，就离不开狄拉克方程了。无论产生什么样的困难——有些困难挺大、挺明显——它们都将是争斗的场合而不是丢弃的机会。这种璀璨宝石般的深刻见解将是无价之宝。

正如我所提到的，尽管他善于思维的出发点非常与众不同和更加抽象，狄拉克以哥德斯密特、乌仑贝克以及他们模型的实验成果开始了他的论文。只有在第二段，他确实显露他的才能。他所讲的完全切合我上面所强调的主题。

“为什么大自然为电子选择这样一个特殊的模型而不满足于点电荷，这个问题依然存在。人们想要找出先前将量子力学用于点电荷的方法中的一些不完备性，当这些不完备性被移除后，整个二重性现象将成为不需要任意假设的必然结果”。

因此，狄拉克本身不是在提供一个新的电子模型。恰恰相反，他是在定义一种新的不可约的物质性质，它是事物天生固有的，特别是在相对论和量子力学自洽地起作用时，甚至在无结构点粒子这种最简单的可能情况下，这种特性也能出现。电子恰好是物质的这种最简单形式的具体表现。狄拉克保留了哥德斯密特和乌仑贝克“自旋”中的一些有价值的性质，特别是它的固定大小和它的磁性行为，它们有助于描述已观测的事实，但却是在深刻得多的基础上。他们模型的随意性和令人不满意的特征都被摆脱了。

我们正在寻找一个箭头，它将是物质基本组元的一个必要和不可分割的部分，比如光子的极化。情况就是这样！

电子的自旋可推演出许多实用的结果。它是铁磁性的起因，并使通电线圈中心处的磁场增强，它构成现代动力技术（电动机和发电机）的核心。通过操控电子自旋，我们可以在非常小的体积内贮存并读取大量信息（磁带、磁盘驱动）。甚至小得多的和更不易使用的原子核自旋也在现代技术中起着很大的作用。用无线电波或磁场操控这样的自旋，并感知它们的响应，是医学上非常有用的磁共振成像（MRI）的基础。如果没有这种只能通过最基础的认识才能带来的对于物质的精妙控制，这种应用将是不可想象的（确实如此！）。

通常的自旋，特别是狄拉克对磁矩的预言，在基础物理后续的发展中也有着巨大影响。波利卡普·库什和他的合作者在20世纪40年代发现了对狄拉克g＝2的结果的微小偏离。它们提供了一些最早的虚粒子效应的定量证据，这是量子场论的一个深奥而且典型的特征。对质子和中子来说，与g＝2的明显偏离早在20世纪30年代就被观测到了。这是一个早期的迹象，它暗示：质子和中子不是与电子有着相同意义的基本的粒子。但是，我正在超前于我们的故事了……。（未完待续）

本文选自《现代物理知识》2010年第2期    时光摘编

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